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3 THEORIE DES CIRCUITS ET SYSTEMES APPLIQUES A LA RMN.


3.1 Introduction.

Ce chapitre présente l'analyse, basée sur des concepts de la théorie des circuits et systèmes, de blocs fonctionnels introduit au chapitre précédent. L'utilisation de ces concepts se fera sur des exemples simples mais utiles en utilisant un formulaire fournit en annexe. Néanmoins le lecteur qui en éprouverait le besoin consultera l'aide bibliographique. Cette approche est particulièrement efficace pour l'étude des lignes de transmission, de la sonde, et du récepteur.

3.2 Lignes de transmission.

Des câbles coaxiaux sont utilisés comme lignes de transmission pour véhiculer l'information radiofréquence. Cette information est transmise entre les différents points de la

Figure 4. Ligne de transmission sans perte. a) générateur, ligne , charge . b) Analyse d'un tronçon de ligne .c) Equation de propagation et régime harmonique.

ligne avec une vitesse de propagation finie. Une façon de modéliser la ligne consiste à introduire des constantes réparties. Par exemple le comportement d'une ligne sans perte (figure 4) est analysé à partir d'une inductance linéique L(H/m) et d'une capacité linéique C(F/m). Cette analyse aboutit alors à une équation de propagation qui permet de trouver une vitesse de propagation v et une impédance caractéristique Zc (en RMN câble coaxiaux Zc=50 Omega) Cette impédance Zc est le rapport entre la tension et le courant en un point d'une ligne qui serait infinie. Ainsi si l'on coupe cette ligne en un point et que l'on place en ce point une impédance égale à Zc qui maintient les relations de phase et de module entre la tension et le courant, rien ne sera changé en amont de la coupure et la ligne continuera d'apparaître comme infinie. En régime harmonique (régime forcé sinusoïdal) à la fréquence f=1/T, les tensions et les courants sont périodiques le long de la ligne avec une période spatiale lambda = v.T. Si un générateur d'impédance de sortie Zg émet une onde sur la ligne, alors en plus d'une onde incidente vers la charge d'impédance Zch, il apparaît une onde réfléchie qui est reçue par l'émetteur ce qui peut être destructeur. Toute réflexion disparaît si en réalisant une adaptations d'impédance (Zg = Zch = Zc) on impose les bonnes relations de phase et de module entre tension et courant. Mentionnons qu'une ligne terminée par un court-circuit présente une impédance infinie à une distance lambda/4. En effet au point de court-circuit V(x) est nulle et |I(x)| maximum et l'inverse se produit lambda/4 plus loin. La figure 5a) montre comment un transformateur parfait permet de réaliser cette adaptation d'impédance entre les entrées ou sorties radiofréquences et la ligne de transmission. Le couplage entre deux bobines d'inductances propres L1 et L2 par la variation d'un flux magnétique commun est explicité sur la figure 5b).

Figure 5. a) Transformateur parfait et son effet sur un générateur de Thévenin. b) Système de bobines couplées.

Les transformateurs réels sont basés sur ce principe. Les expressions des inductances propres et de l'inductance mutuelle M sont dérivées à partir du théorème d'Ampère (Hl = NI, N1 ou N2), de la relation constitutive du milieu magnétique B = uH et de la relation entre le flux total vu par une bobine Phib et le flux commun BS (Phib = NBS). Le coefficient de couplage k (-1<k<1) permet de prendre en compte la partie de flux réellement échangée entre les bobines. Ces notions de bobines couplées et de transformateur parfait vont être utilisées dans la suite de l'exposé.

3.3 Etude d'un filtre prototype.

Par opposition aux systèmes à constantes réparties, les systèmes présentant des dimensions très inférieures à la longueur d'onde lambda sont des systèmes à constantes localisées modélisés par des composants passifs tels que des inductances, capacités ou résistances. Nous allons étudier un filtre passe bas très simple composé d'une résistance et d'une capacité afin d'illustrer des concepts indispensables pour continuer l'analyse d'un spectromètre. Ce filtre passe bas pourrait servir en sortie du détecteur DPQ (fig. 2) afin de bloquer les composantes hautes fréquences.

Figure 6. Analyse harmonique d'un filtre RC.

L'analyse harmonique du filtre RC est explicitée par la figure 6 en utilisant le tableau d'impédances fourni en annexe. Le filtre, de fonction de transfert H(jomega), introduit une atténuation |H(jomega)| et un retard tr(omega) dépendant de la fréquence. On note de plus la relation phi(omega) = tr(omega).omega entre le déphasage et le retard à une fréquence donnée. Ce filtre présente une fréquence de coupure fc = 1/(2pitau) et sa bande passante Deltaf s'étend de 0 Hz à fc. En termes de transmission du signal, un système idéal devra se comporter en retard pur défini par une sortie S(t) = A.E(t-tr) où E(t) est le signal d'entrée. Le gain A et le retard tr doivent être indépendants de la fréquence impliquant un

Figure 7. Analyse des transitoires d'un filtre.

déphasage proportionnel à la fréquence. Un tel filtre n'est pas réalisable et tout l'art de la synthèse des filtres est de s'approcher de ces critères dans une bande de fréquence adaptée à l'encombrement spectral du signal à transmettre. Pour notre filtre RC ces critères seraient respectés si fm << fc où fm est la fréquence la plus élevée du signal, alors |H(jomega)| ~ 1 et tr = tau. La RMN utilisant des impulsions de toutes sortes (RF, gradient, etc..), l'analyse harmonique doit être complétée par l'étude des transitoires. Une méthode basée sur l'utilisation de la transformée de Laplace (annexe) permet d'obtenir le comportement de ces transitoires en ne résolvant que des équations algébriques comme l'illustre la figure 7. Cette figure souligne plusieurs résultats importants. Le cas 7a) utilise une impulsion de Dirac d(t) comme excitation. La réponse impulsionnelle h(t) caractérise le filtre au même titre que la fonction de transfert H(p) puisqu'elle est la transformée inverse de H(p). Ainsi le cas 7b) montre que la réponse indicielle vs(t) à un échelon de Heaviside u(t) est le produit de convolution (*) de l'excitation par la réponse impulsionnelle h(t). Ceci découle directement du fait qu'à l'opération multiplication (.) (H(p).Ve(p)) correspond l'opération convolution par transformée (Laplace ou Fourier). Le cas 7a) souligne alors que l'impulsion de Dirac est l'élément neutre de la convolution. Ces remarques nous serons utiles lorsque nous analyserons la détection qui fait intervenir l'opération multiplication (fig. 2 et 3). Le temps de réponse caractéristique du filtre est tau puisque le système retourne à l'équilibre après une durée de quelques tau lorsqu'il a été excité par une impulsion infiniment brève.

Figure 8. Diagramme de Bode, réponse impulsionnelle et exemple de séparation entre le régime forcé et le régime libre.

Ceci montre que le temps de réponse d'un système est de l'ordre de l'inverse de sa bande passante Deltaf comme le montre la figure 8. Enfin (fig. 8 cas c), après ce temps de réponse la sortie tend vers le signal imposé par l'entrée. Le régime forcé correspond bien à la réponse obtenue lors de l'analyse harmonique (fig. 6), régime pour lequel H(p=jomega) = H(jomega) et où il devient licite de poser p=jomega. Le régime transitoire s'étend sur une durée de l'ordre du temps de réponse et sera d'autant plus rapide que la bande passante sera grande. Ces transitoires se développent afin d'éviter des discontinuités lors des changements de régimes (tensions aux bornes des capacités, courants dans les inductances). On peut comprendre par exemple que si l'on utilise une séquence d'impulsions présentant beaucoup de discontinuités les erreurs de phase peuvent devenir catastrophiques. Pour finir ce paragraphe nous mentionnons qu'un amplificateur linéaire obéit aux mêmes règles que les filtres puisque fonctionnellement ce n'est qu'un filtre avec un gain |H(jomega)| pouvant être supérieur à l'unité. Le diagramme de Bode de la figure 7 montre alors la réponse en fréquence d'un "ampli" de gain G=1 (0 dB) jusqu'à fc et son produit gain bande passante G.Deltaf (100Hz). Ce produit G.Deltaf est constant pour un "filtre-ampli". Par exemple une horizontale à -60 dB (G =10-3) coupe |H(jomega)| à f(-60 dB) = 100 kHz et G(-60 dB).f(-60 dB) = 100 Hz. Ce filtre passe bas prototype nous ayant permis d'introduire quelques concepts pour l'étude des circuits nous allons les appliquer à l'étude d'une sonde RMN.

3.4 Sonde RMN.

3.4.1 Accord Adaptation.

Figure 9. Schéma de sonde et son analyse par générateur de Thévenin équivalent et transformateur parfait.

La figure 9 présente un schéma électrique d'une sonde souvent mis en oeuvre pour des fréquences inférieures à la centaine de MHz. La réduction de la boucle (Eg, Rg, C1, C2) en générateur de Thévenin équivalent montre que le pont capacitif (C1, C2) joue le rôle d'un transformateur parfait de rapport de transformation n. Le schéma global se réduit à un circuit RLC série dont la fréquence de résonance omegas dépend de la somme de C1 et C2 mais est indépendante de n. L'accord de la sonde consiste à faire coïncider cette fréquence de résonance omegas à la fréquence d'émission du spectromètre. A cette fréquence l'impédance vue à l'entrée de la sonde se réduit à r/n2. Afin d'éviter toute réflexion sur les lignes il suffira d'adapter cette impédance à l'impédance caractéristique de la ligne. Les deux capacités variables permettent bien deux réglages, l'accord et l'adaptation.

3.4.2 Régimes transitoire et harmonique.

L'excitation des systèmes de spins fait appel à des séquences d'impulsions de plus en plus sophistiquées où les phases, amplitudes et durées permettent d'obtenir des fonctions aussi variées que des excitations sélectives, des corrélations entre interactions, de la RMN 2D ou 3D, des filtres multiquanta, etc... Ainsi pendant cette période de préparation la sonde subit de nombreux transitoires. Au paragraphe précédent nous avons vu qu'une sonde peut être modélisée par un circuit RLC série. La figure 10 explicite en trois étapes l'analyse de la réponse d'un tel circuit à une impulsion de radiofréquence en utilisant les mêmes méthodes que pour l'analyse du filtre RC. Le cas a) montre que même en absence de tension aux bornes de la sonde il peut circuler un courant sinusoïdal amorti de pulsation omegat si une énergie magnétique ou électrique est préalablement stockée dans les éléments réactifs de la sonde (inductance, courant, énergie magnétique), (capacité, tension, énergie électrique). Ceci n'est qu'un exemple particulier du régime libre d'un système linéaire ou cette réponse transitoire ne dure que quelque fois le temps caractéristique taus = 2Q/omegas où Q représente le facteur de qualité du circuit résonant (Q = énergie maximale stockée/ énergie perdue par cycle). Ces transitoires, faisant toujours intervenir taus et omegat, apparaîtront chaque fois qu'un régime harmonique sera interrompu sur un temps plus court que taus (changement de phase, fréquence, amplitude). Le cas c) souligne que l'on peut modéliser une impulsion radiofréquence par la différence de deux échelons d'Heaviside e(t) - e(t - tau) multipliés par un cosinus. Dans les conditions indiquées dans ce cas c) l'analyse se réduit à l'étude de la réponse du circuit RLC à l'application du signal e(t) définie en b). L'utilisation des méthodes introduites au paragraphe 3.3 permet d'obtenir l'expression de i(t) qui à un facteur indépendant du temps près (si la sonde est mécaniquement stable) est aussi l'expression du champ tournant B1(t). On trouve bien que ce courant présente un terme forcé à la pulsation imposée par le signal d'entrée et un terme libre à la pulsation omegat exponentiellement amortie avec un temps caractéristique taus. A l'instant initial, l'amplitude de ce transitoire est exactement égale et opposée à celle du régime forcé puisqu'il ne peut y avoir de discontinuité de courant dans l'inductance. Ainsi la question de savoir si ce régime est gênant reste posée. Le cas le plus utilisé en RMN du liquide où Q > 100 avec omega ~ omegat apporte une réponse. La partie transitoire en cosinus qui impose un courant initial nul est en phase avec le régime forcé et ne modifie pas la phase choisie. La seule conséquence est de limiter le temps de montée et de descente de l'impulsion. Il suffit d'ajuster la durée de cette dernière pour obtenir la bonne rotation du système de spins. L'existence d'un temps de descente fini est le point le plus gênant car ceci engendre ce qu'on appelle le temps mort tm du spectromètre. Au paragraphe 2.2.3

Figure 10. Régimes transitoires et harmonique d'une sonde.

nous avons vu qu'entre émission et réception la dynamique peut atteindre 140 dB, ce qui donne un rapport en tension de 107. Il faut attendre un temps tm tel que exp(-tm/taus) ~ 10-7 soit tm ~ 16taus pour que la réponse libre de la sonde devienne inférieure au signal à détecter. La partie transitoire en sinus est beaucoup plus gênante car elle provoque des déphasages non contrôlés mais elle est pondérée par un facteur 1/2Q qui peut rester faible si l'on garde un bon facteur de qualité du résonateur. Enfin si la décente de l'impulsion présente une forme exactement opposée à la montée alors ces déphasages parasites se compensent. Pour obtenir l'expression des coefficients du régime

Figure 11 Dépendance en fréquence de I(jomega)/Im.

forcé nous avons utilisé l'expression du courant I(jomega) en régime harmonique. Cette expression montre qu'un courant maximum Im = E/r en phase avec la tension (phiz = 0deg.) est atteint pour la pulsation omega = omegas. De plus si l'on définit une bande passante Deltaf par l'écart entre les fréquences où phiz = +/-45deg., alors Deltaf = fs/Q = 1/pitaus avec fs = omegas/2pi. L'analyse harmonique montre que la sonde se comporte comme un filtre sélectif de bande passante Deltaf inversement proportionnelle au temps de réponse taus et centré autour de la fréquence propre fs du résonateur. Ainsi pour que ce filtre sélectif se rapproche des critères de transmission sans déformation d'un retard pur il faut que fs soit au centre de la fenêtre spectrale à explorer Deltafexpl et que Deltaf >> Deltafexpl afin que |Z(omega)| soit constant et phiz proportionnel à la fréquence. Ce qu'il faut retenir de ce paragraphe, c'est qu'il met en lumière les critères contradictoires du choix du facteur de qualité Q. Ce facteur doit être grand pour que la partie du régime libre induisant des déphasages parasites soit négligeable et également pour que la puissance de bruit proportionnelle à la bande passante soit le plus faible possible (paragraphe 2.2.4). Mais Q doit être petit pour que les durées des transitoires et du temps mort du spectromètre soit les plus faibles possible et pour s'approcher des critères de transmission idéale du retard pur.

3.4.3 Couplage sonde échantillon à l'émission et à la réception.

Ce paragraphe introduit un modèle électrique de l'échantillon qui s'appuie sur l'analogie aimantation courant. Si l'on assimile l'échantillon à une bobine d'inductance propre Le et de résistance re en série avec une capacité Ce alors l'expression trouvée pour i(t) dans le cas a) de la figure 10 obéit à la même dépendance en temps que l'aimantation transverse dans le repère du laboratoire présentée sur la figure 2 à condition que l'énergie magnétique initiale stockée dans la bobine équivalente soit identique à celle stockée dans l'échantillon juste après l'impulsion de "pi/2". Cette analogie est explicitée sur la figure 12. L'électromagnétisme nous indique qu'une aimantation uniforme peut être remplacée par une densité surfacique de courant isurf. La prise en compte de la valeur de isurf ainsi que de la contrainte énergétique comme condition initiale montre que seul le produit Ne.i0 du nombre Ne de spires équivalentes par le courant initial i0 est imposé. Ainsi nous sommes libres de choisir la valeur de la résistance par unité de longueur de fil formant la bobine équivalente. Nous prenons cette valeur égale à celle du fil de la bobine de la sonde. Nous avons choisi un solénoïde uniquement pour la simplicité de la relation entre l'aimantation et la densité surfacique de courant. Le résultat classique sur les bobines couplées est obtenu à partir du même raisonnement que celui utilisé sur la figure 5 en négligeant les inhomogénéités des champs aux extrémités des bobines. Ce résultat montre que le couplage est dépendant du facteur de remplissage

Figure 12. Analogie électrique d'un échantillon et couplage sonde échantillon.

Ve/Vs. Les valeurs explicites des éléments du schéma équivalent sont dépendantes de la forme choisie pour la bobine et l'échantillon. Le point important est que le couplage est proportionnel à T2 ce qui montre qu'une raie de résonance sera d'autant plus facile à mesurer que sa largeur spectrale sera faible. Enfin un modèle électrique de l'échantillon et de son couplage avec la sonde est un outil très utile pour connaître le comportement de l'aimantation à l'émission comme à la réception. Néanmoins la limite de ce modèle vient de ce que le couplage entre aimantations transverse et longitudinale via l'induction magnétique n'est pas pris en compte. La figure 13 utilise le modèle électrique pour analyser l'émission. Lors du bilan en énergie du chapitre 2.2 nous avons vu que la

Figure 13. Sonde à l'émission avec les paramètres définis par les figures 9 et 12.

puissance à la réception est négligeable comparée à celle de l'émission, nous pouvons donc négliger la présence de l'échantillon. La puissance active est alors consommée par rs et le flux magnétique Ls.is est généré par l'inductance Ls. Pour obtenir l'intensité du champ de radiofréquence B1 il suffit de partir du flux total Ls.is dans la bobine et de diviser par le nombre Ns de spires et par la section Ss de la bobine. Ainsi pour obtenir une impulsion de pi/2 deux fois plus courte il faut quatre fois plus de puissance ou une bobine quatre fois moins volumineuse. Enfin des fréquences de résonance plus élevées nécessitent des puissances radiofréquences plus importantes.

Figure 14. Sonde à la réception avec les paramètres définis par les figures 9 et 12.

La figure 14 utilise le modèle électrique pour analyser la réception. Le signal de sortie défini par nV0 attaque la ligne de transmission au travers du "transformateur capacitif" de rapport de transformation n (fig. 9). Les équations des bobines couplées (fig. 5) permettent de faire apparaître deux générateurs de Thévenin de forces électromotrices (f.e.m) Vspins = Mesdie/dt et Vsonde = Mesdis/dt. La f.e.m Vspins est la source du signal détecté par le spectromètre et la f.e.m Vsonde provoque un amortissement cohérent (radiation damping). En effet la précession de l'aimantation génère la f.e.m Vspins qui produit un courant is qui à son tour induit une f.e.m Vsonde. La f.e.m Vsonde perturbe alors le système de spins puisqu'elle participe à la circulation du courant ie qui n'est qu'une image de l'aimantation nucléaire dans le modèle électrique. Sans analyser dans le détail ce phénomène il est facile de mettre en évidence un temps caractéristique Trad en plaçant l'accord exactement à la résonance et en respectant la condition d'adaptation. Dans ce cas les tensions des inductances sont de mêmes intensités et en oppositions de phase avec celles des capacités et le système couplé se réduit aux f.e.m et aux résistances. Il faut dire à nouveau qu'une partie de l'aimantation transverse, qui retourne le long de Oz, n'est pas prise en compte dans ce modèle. Une autre façon d'utiliser notre modèle électrique est d'évaluer l'intensité n|V0| du signal RMN. Pour ceci nous négligeons l'amortissement cohérent et considérons la f.e.m Vsonde nulle. Là aussi nous nous plaçons dans les conditions d'accord et d'adaptatation idéales. Nous avons écrit n|V0| sous deux formes différentes. La première forme met en évidence la f.e.m de spins f.e.mspins due à la variation de flux magnétique généré par l'aimantation nucléaire aux travers des Ns spires de section Ss. La seconde forme de n|V0| permet d'aboutir à une expression très utile du rapport signal sur bruit S/B. Pour établir cette expression nous utilisons la formule de Nyquist Vb = (4kTRDeltaf)1/2 du bruit Johnson dans la résistance R d'un système présentant une bande passante Deltaf (même origine que le bruit invoqué pour le système de spins au 2.2.4). Au niveau du spectromètre la bande passante est choisie à la valeur la plus petite possible qui englobe l'ensemble de la partie utile du spectre ceci afin de ne pas introduire plus de bruit que nécessaire. Ceci impose des filtres plus élaborés que les filtres RC ou RLC déjà rencontrés afin d'obtenir la bande passante la plus faible en respectant le plus possible les conditions de transmission idéale du retard pur. Ces filtres peuvent être analogiques ou numériques. Nous utilisons la condition d'adaptation n2Zc = rs pour évaluer n afin d'obtenir les tensions de signal |V0| et de bruit Vb/n sur la ligne de transmission, la bande passante Deltafs étant limité par le circuit résonant (Qs = 100). La table 4 résume ces valeurs

fo(MHz)

Deltaf(Hz)
Vémi(V)
V0(V)
Vb/n(V)
ns min
1H(H2O)
500
104
10,2
84 10-3
2 10-6
2,6 1019
13C(TMS)
126
3,2 104
134
8 10-6
1 10-6
7,3 1021
Table 4. Valeurs des tensions de signal et de bruit sur la ligne de transmission. Nombre minimum nécessaire de spins ns min pour S/B =1.

pour une bobine de volume Vs = 1 cm3, un facteur de remplissage (Ve/Vs) = 1 et des conditions analogues à celles de la table 2 du paragraphe 2.2.3. Le nombre minimum de spins détectable ns min est évalué en prenant S/B = 1 avec les mêmes valeurs Deltaf = Deltafmax que celles de la table 3 du paragraphe 2.3.4. Ces valeurs correspondent à une ouverture spectrale permettant d'explorer l'ensemble de l'échelle de déplacement chimique des noyaux considérés. La comparaison avec la table 3 montre que le "réseau" est un million de fois plus sensible que le spectromètre. Enfin la table 4 rappelle les valeurs de tension Vémi mis en jeu à l'émission.

3.5 Récepteur.

Le récepteur amplifie le signal RMN provenant de la sonde via le duplexeur afin d'adapter l'amplitude du signal au niveau requis par le détecteur synchrone (DPQ). Il manque un facteur nf appelé figure de bruit pour que l'expression du rapport S/B de la figure 14 soit l'expression classique utilisée pour l'évaluation du rapport S/B du spectromètre. Cette figure de bruit caractérise essentiellement la qualité du récepteur à amplifier le signal en introduisant le moins de bruit possible. La figure 15 apporte les concepts nécessaires à la compréhension de cette notion de figure de bruit. La figure 15 souligne aussi la règle d'adaptation d'impédance à appliquer en entrée du récepteur pour optimiser le rapport S/B à la sortie de ce dernier. Le premier point est qu'il existe différents types de bruits présentants des caractéristiques en fréquence et en probabilité différentes.

Figure 15 Notions sur le bruit et optimisation du S/B en sortie du récepteur.

Ces différent bruits ont des origines diverses mais trois d'entre eux sont plus particulièrement rencontrés dans les montages électroniques (fig.15-a). Le bruit Johnson d'origine thermique est caractérisé par une tension de bruit de valeur moyenne nulle et de valeur efficace Vrms aux bornes d'une impédance. C'est la partie réelle R de cette impédance qui intervient dans le calcul de la densité de bruit en2 exprimée en V2/Hz. La partie imaginaire n'est pas source de bruit mais elle intervient dans les calculs de bruit. Cette densité de bruit étant indépendante de la fréquence, la valeur de Vrms2 est directement proportionnelle à la bande passante Deltaf du récepteur. Puisque toutes les fréquences sont présente dans le spectre ce bruit est dit bruit blanc par analogie à la lumière. Un histogramme des tensions (analyse multicanal de l'axe des tensions) montre que le bruit Johnson suit une loi normale (fig.15-b). Ceci implique que la probabilité de trouver une tension éloignée de la valeur moyenne de cinq fois Vrms est de l'ordre de 10-6. Un autre bruit blanc gaussien qui trouve sont origine dans l'aspect particulaire du courant est le bruit de grenaille dont la densité de bruit in2 est proportionnelle au courant qui traverse le composant. Le calcul de la valeur efficace du courant de bruit Irms suit les mêmes règles que Vrms. Il existe un bruit en 1/f ainsi baptisé car sa densité de bruit est inversement proportionnelle à la fréquence (bruit rose). Son origine est très variée mais dans les composants électroniques elle est souvent liée à des phénomènes de surfaces. Lorsque l'on veut prendre en compte plusieurs sources de bruits il faut ajouter le carré des valeurs efficaces (fig.15-c, bruits non corrélés). Une première conséquence de cette règle est que lorsque l'on accumule un signal n fois la tension du signal total est bien multipliée par n mais celles du bruit n'est augmentée que par radicaln et le S/B est amélioré de radicaln (fig.15-d). Ainsi si, à cause d'un mauvais réglage d'accord, d'adaptation ou de choix de bande passante, le S/B est détérioré d'un facteur trois une accumulation qui aurait due prendre une heure occupera le spectromètre pendant une journée entière. Une deuxième conséquence de cette règle est que l'on modélise les sources de bruits par des valeurs aux carrées. Mais comme tous les bruits ne sont pas blancs ce sont les densités en2 ou in2 qui sont utilisées impliquant d'intégrer la densité résultante (somme des bruits par tranche de fréquence) sur la gamme des fréquences utilisées (fig.15-e). Ces modèles ne sont utiles que si l'on précise la fréquence centrale d'utilisation et la bande passante. Ceci est le cas pour la figure de bruit nf du récepteur où nf2 est le rapport de la densité de bruit totale à l'entrée (es2 + ea2, source plus amplificateur) sur la densité de bruit de la source seule es2. Dans le cas de bruits blancs dans la bande de fréquence utile, le S/B en sortie du récepteur correspond à celui de la source, donnée par la formule de la figure 14 multiplié par l'inverse de la figure de bruit nf montrant que cette dernière doit être la plus faible possible (fig.15-f). La notion de figure de bruit qui caractérise le récepteur est aussi dépendante de la source et de son bruit. Si elle est très utilisée en radiofréquence, c'est parce que la résistance de la source correspond à l'impédance caractéristique Zc de la ligne de transmission et que la densité es2 est calculée en prenant R = Zc. Le plus souvant une chaîne de mesure fait intervenir plusieurs amplificateurs en cascades mais les performances S/B de la chaîne sont essentiellement contrôlées par la source de signal et la figure de bruit du premier étage d'amplification (fig. 15-g). En effet la densité de bruit des étages suivants est évalué au niveau de l'entrée de la chaîne de mesure en divisant leur densité de bruit par l'ensemble des gains en puissance présents entre l'entrée de l'amplificateur considéré et l'entrée de la chaîne de mesure. Nous comprenons alors pourquoi nous insistons tant sur les propriétés de bruit du récepteur. Enfin la modélisation des bruits des composants montre que l'on peut caractériser le bruit d'un amplificateur par une source de tension et une source de courant dont les valeurs des densités ea2 et ia2 sont fournies par le fabriquant. Ceci permet de définir une résistance de bruit rb (fig. 15-h). Les meilleurs performances S/B sont obtenues lorsque la résistance de la source vue à l'entrée du récepteur correspond à la résistance de bruit. Quelque soit les composants utilisés pour fabriquer l'étage d'entrée, la résistance de bruit obtenue est toujours plus élevée que les 50 Omega de Zc aussi il faut interposer un filtre de type LC pour adapter la ligne à la résistance de bruit. Dans les réalisations commerciales, cette adaptation d'impédance est pris en compte par des "inserts" qui font aussi office de duplexeur.


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